Krdytkyu

Cet article fait la liste des maires de Langres . Liste des maires de Langres depuis la Révolution | Liste des maires successifs Période Identité Étiquette Qualité 1791 1792 Joseph-Claude Drevon     1792 1794 Bernard Varaigne     1794 1795 Nicolas Humblot     1795 1797 Nicolas Daguin     1797 1797 François-Simon Richard de Foulon     1797 1798 Marie-Nicolas Barbier     1798 1799 Jean-Louis Jayet-Aubert     1799 1799 François-Charles Henryot     1799 1800 François-Nicolas Lefebvre     1800 1808 Claude Petitot     1808 1808 George Humblot-Charmoiselle     1808 1815 Guillaume-Augustin-Jean-Marie Guyot de Saint Michel     1815 1815 Jean-Claude Henry de Chamblay     1815 1816 Guillaume-Augustin-Jean-Marie Guyot de Saint Michel     1816 1825 Antoine-Jean-Baptiste-Marie Philpin de Rivière     ...

16 4 $begingroup$ Consider the following limit: $$lim_{ntoinfty}{sum_{m=0}^{n}{sum_{k=0}^{n-m}{left[frac{2^{n-m-k}}{n-m+1},frac{{{2k}choose{k}}{{2m}choose{m}}}{{{2n}choose{n}}}right]}}}=pi$$ I cooked this up while playing around with power series (details below). Is there a more direct way to prove this limit? Consider the functions $f(x)=frac{tan^{-1}(sqrt{1-x})}{sqrt{1-x}}$ , $g(x)=frac{pi/2-tan^{-1}(sqrt{1-x})}{sqrt{1-x}}$ . We write the power series: $$f(x)=sum_{n=0}^{infty}{(s_npi-r_n)x^n},qquad{g}(x)=sum_{n=0}^{infty}{(s_npi+r_n)x^n}$$ where computing the first few terms suggests that $r_n$ , $s_n$ are rational. Indeed, we have $frac{pi/4-tan^{-1}(sqrt{1-x})}{sqrt{1-x}}=frac{g(x)-f(x)}{2}=sum{r_nx^n}$ , and $frac{1/4}{sqrt{1-x}}=frac{g(x)+f(x)}{2pi}=sum{s_nx^n}$ . Using $frac{d}{dx}[tan^{-1}(sqr...