Espace normal
Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F.
En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal.
Sommaire
1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés
3.1 Propriétés élémentaires
3.2 Conditions nécessaires et suffisantes
3.3 Condition suffisante de non-normalité
4 Histoire
5 Notes et références
6 Voir aussi
6.1 Articles connexes
6.2 Ouvrage
6.3 Lien externe
Définition |
Soit X un espace topologique. On dit que X est normal[1] s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T4[2] :
pour tous fermés disjoints F et G, il existe deux ouverts disjoints U et V tels que F soit inclus dans U et G dans V.
Exemples |
- Tout espace topologique métrisable est normal[3].
En effet, il est parfaitement normal, ce qui entraîne qu'il est normal et même complètement normal.
Par exemple : ℝn muni de sa topologie usuelle est normal. - Tout ensemble totalement ordonné, muni de la topologie de l'ordre, est (complètement) normal car (héréditairement) collectivement normal et même monotonement normal.
Tout espace compact est normal[4]. Plus généralement, tout espace paracompact est collectivement normal.- Un exemple d'espace compact non complètement normal est la planche de Tychonoff. En effet, la planche de Tychonoff épointée n'est pas normale (bien que localement compacte).
Propriétés |
Propriétés élémentaires |
- Si deux espaces topologiques sont homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi.En effet la propriété d'être normal est, comme tous les axiomes de séparation, formulée de façon à être invariante par homéomorphisme.
- Tout fermé d'un espace normal est normal (pour la topologie induite).Cette seconde assertion est, elle aussi, « immédiate, à partir de la remarque qu'une partie fermée d'un sous-espace fermé est aussi fermée dans l'espace entier[5] ».
Conditions nécessaires et suffisantes |
Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété T4 (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :
- Un espace topologique X est T4 si, et seulement si, pour tout fermé F de X et tout ouvert O contenant F, il existe un ouvert U contenant F tel que l'adhérence de U soit incluse dans O[6] :
F⊂U⊂U¯⊂O.{displaystyle Fsubset Usubset {overline {U}}subset O.}
Lemme d'Urysohn : Un espace topologique X est T4 si, et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue qui vaut 0 sur F et 1 sur G.
Théorème de prolongement de Tietze : Pour un espace topologique X, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
X est T4 ;- pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans ℝ, il existe une application continue de X dans ℝ qui prolonge f ;
- pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans un segment réel [–M, M], il existe une application continue de X dans [–M, M] qui prolonge f.
- Un espace X est T4 (si et) seulement si tout recouvrement ouvert localement fini de X possède une partition de l'unité subordonnée.
Condition suffisante de non-normalité |
Lemme de Jones (de)[7],[8] — Pour qu'un espace séparable ne soit pas normal, il suffit qu'il contienne un sous-espace fermé discret ayant la puissance du continu.
Par cet argument, le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ne sont pas normaux.
La non-normalité du plan de Sorgenfrey prouve que le produit de deux espaces normaux n'est pas toujours normal (voir aussi : Droite de Michael).
Histoire |
Cette notion provient du mathématicien Heinrich Tietze et date de 1923[9]. Nicolas Bourbaki précise à son sujet : « Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de question (topologie algébrique), la notion d'espace normal est peu maniable, parce qu'elle offre trop de possibilités de « pathologie » ; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d'espace paracompact, introduite en 1944 par J. Dieudonné[9]. »
Notes et références |
Serge Lang, Analyse Réelle, Paris, InterEditions, 1977(ISBN 978-2-72960059-4).
Il suffit pour cela qu'il vérifie T1 et T4.
F. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel, École Normale supérieure (2008-2009), p. 36.
Lang 1977, p. 30.
(en) James Dugundji, Topology, Allyn & Bacon (en), 1966(ISBN 978-0697068897, lire en ligne), p. 145.
Lang 1977, p. 36.
(en) F. Burton Jones (en), « Concerning normal and completely normal spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 43, no 10, 1937, p. 671-677 (lire en ligne).
(en) Peter J. Nyikos, « A history of the normal Moore space problem », dans C. E. Aull et R. Lowen, Handbook of the History of General Topology, vol. 3, Springer, 2001(ISBN 978-0-79236970-7, Modèle:GoogleLivres), p. 1179-1212 : p. 1183.
Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], éd. 2006, p. 205-206 ou N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. IX.128.
Voir aussi |
Articles connexes |
Espace de Dowker (en)
Espace de Moore (topologie) (en)
Conjectures de Morita (en)
Théorème d'insertion de Katětov-Tong (en)
Théorème de Phragmén-Brouwer (en)
Ouvrage |
(en) Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover Publications, 1994(ISBN 978-0-48667966-2, lire en ligne)
Lien externe |
(en) P. S. Aleksandrov, « Normal space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002(ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
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