Krdytkyu

Volume

Données clés

Unités SI	mètre cube
Dimension	L3
Nature	Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel	V
Conjuguée	pression

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Pour les articles homonymes, voir Volume (homonymie).

Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.

• En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace physique » qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps.


• En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace géométrique est sa mesure au sens de la théorie de la mesure de Lebesgue.

Mesure du volume |

• Le volume physique se mesure en mètre cube dans le Système international d'unités. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides et pour des matières sèches. Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique associée est la pression.


• En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, le volume du parallélépipède engendré par 3 vecteurs non coplanaires (v→1,v→2,v→3){displaystyle ({vec {v}}_{1},{vec {v}}_{2},{vec {v}}_{3})} se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs :

V=|det(v→1,v→2,v→3)|{displaystyle V=|det({vec {v}}_{1},{vec {v}}_{2},{vec {v}}_{3})|}

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques.

Grandeur physique |

Le volume est une grandeur additive : le volume d'un système physique est la somme des volumes de ses parties. Ce n'est en revanche pas une grandeur algébrique : physiquement, il n'existe pas de « volume négatif » (dont serait fait le sac de voyage de Mary Poppins) dont la superposition avec un système physique de volume positif donnerait un système composé de volume globalement nul, ou du moins réduit : tous les volumes sont de même signe, et par convention, sont comptés positivement. C'est pour cette raison que dans la formule du produit mixte, le résultat est pris en valeur absolue.

L'interprétation physique du produit mixte est qu'un volume physique est le produit scalaire d'une surface par un déplacement :

V=det(v→1,v→2,v→3)=v→1⋅(v→2∧v→3)=v→1⋅S→23{displaystyle V=det({vec {v}}_{1},{vec {v}}_{2},{vec {v}}_{3})={vec {v}}_{1}cdot ({vec {v}}_{2}wedge {vec {v}}_{3})={vec {v}}_{1}cdot {vec {S}}_{23}}

Le déplacement est un vecteur, mais la surface orientée est un pseudovecteur, si bien que le volume ainsi défini est théoriquement une grandeur qui change de signe lorsqu'on fait subir au système une isométrie indirecte (symétrie miroir par exemple). De fait, si par exemple le volume d'une sphère est 43πR3{displaystyle scriptstyle {4 over 3}pi R^{3}}, une inversion polaire changera effectivement R en -R et conduira logiquement à un volume négatif. Sur le plan de l'équation aux dimensions, et en tenant compte de la grandeur d'orientation, le déplacement est un vecteur de dimension L·1_x et la surface un pseudovecteur de dimension L^{{displaystyle ,}2}·1_y, le produit des deux est un pseudoscalaire de dimension L^{{displaystyle ,}3}·1_z, c'est-à-dire qu'il a le même caractère qu'un flux.

La physique reste effectivement inchangée si tous les volumes sont comptés négativement, mais en pratique les volumes physiques sont comptés positivement, ce qui revient à multiplier le volume au sens précédent par le symbole de Levi-Civita (lui-même en 1_z). Le volume d'un corps physique est alors un scalaire vrai, à cause de la convention d'orientation. De même, alors qu'un élément de surface est normalement un pseudovecteur en 1_y, la convention d'orientation qui veut que son orientation sur une surface fermée soit dirigée vers l'extérieur revient à le multiplier par la convention d'orientation en 1_z, ce qui en fait alors un vecteur vrai en 1_x. L'utilisation de cette convention d'orientation peut être problématique dans l'analyse dimensionnelle, parce qu'elle correspond à une grandeur par ailleurs généralement invisible dans les données du problème.

Volume élémentaire |

Un domaine de dimension 3 peut généralement être décrit par trois paramètres indépendants u, v et w. Pour tout point M(u,v,w){displaystyle mathrm {M} (u,v,w)} appartenant à ce domaine, le vecteur position OM→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {OM} }}} (où O désigne une origine fixe quelconque) a pour différentielle :

dOM→=(∂OM→∂u)du+(∂OM→∂v)dv+(∂OM→∂w)dw{displaystyle mathrm {d,{overrightarrow {OM}}} =left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial u}}right)mathrm {d} u+left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial v}}right)mathrm {d} v+left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial w}}right)mathrm {d} w}.

Une variation élémentaire (du,dv,dw){displaystyle (mathrm {d} u,mathrm {d} v,mathrm {d} w)} des trois paramètres forme l'élément de volume (ou volume élémentaire) d3V{displaystyle mathrm {d} ^{3}V} (ou simplement dV{displaystyle mathrm {d} V} si l'on n'a pas besoin de rappeler que trois variables varient indépendamment), défini par :

d3V=det[(∂OM→∂u),(∂OM→∂v),(∂OM→∂w)]dudvdw{displaystyle mathrm {d} ^{3}V=det !left[left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial u}}right),left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial v}}right),left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial w}}right)right],mathrm {d} u,mathrm {d} v,mathrm {d} w}.

Le module d'un vecteur position s'exprimant en mètres (m), un élément de volume s'exprime en mètres cubes (m³). Le signe de d3V{displaystyle mathrm {d} ^{3}V} est positif si les vecteurs (∂OM→/∂u){displaystyle (partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}/partial u)}, (∂OM→/∂v){displaystyle (partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}/partial v)} et (∂OM→/∂w){displaystyle (partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}/partial w)}, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct, et négatif s'ils forment un trièdre inverse.

Coordonnées cartésiennes |

En coordonnées cartésiennes orthonormées, le point courant M est repéré par x, y et z, de telle sorte que :

OM→=xx^+yy^+zz^{displaystyle {overrightarrow {mathrm {OM} }}=x,{hat {x}}+y,{hat {y}}+z,{hat {z}}}

où x^{displaystyle {hat {x}}}, y^{displaystyle {hat {y}}} et z^{displaystyle {hat {z}}} sont les vecteurs unitaires, fixes, de trois axes orthogonaux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On a alors :

(∂OM→∂x)=x^{displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial x}}right)={hat {x}}},  (∂OM→∂y)=y^ {displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial y}}right)={hat {y}} } et  (∂OM→∂z)=z^{displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial z}}right)={hat {z}}}.

On en déduit aisément que :

d3V=dxdydz{displaystyle mathrm {d} ^{3}V=mathrm {d} x,mathrm {d} y,mathrm {d} z}.

Coordonnées cylindriques |

En coordonnées cylindriques, le point courant M est repéré par r, φ et z, de telle sorte que :

OM→=rr^(φ)+zz^{displaystyle {overrightarrow {mathrm {OM} }}=r,{hat {r}}(varphi )+z,{hat {z}}}

où z^{displaystyle {hat {z}}} est le vecteur unitaire de l'axe Oz d'un repère orthonormé, tandis que r^(φ){displaystyle {hat {r}}(varphi )}, vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennes cos⁡(φ){displaystyle cos(varphi )}, sin⁡(φ){displaystyle sin(varphi )} et 0. On a alors :

(∂OM→∂r)=r^(φ){displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial r}}right)={hat {r}}(varphi )},  (∂OM→∂φ)=rφ^(φ) {displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial varphi }}right)=r,{hat {varphi }}(varphi ) } et  (∂OM→∂z)=z^{displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial z}}right)={hat {z}}}

où φ^(φ){displaystyle {hat {varphi }}(varphi )} est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennes −sin⁡(φ){displaystyle -sin(varphi )}, cos⁡(φ){displaystyle cos(varphi )} et 0. Les vecteurs r^(φ){displaystyle {hat {r}}(varphi )}, φ^(φ){displaystyle {hat {varphi }}(varphi )} et z^{displaystyle {hat {z}}} sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :

d3V=rdrdφdz{displaystyle mathrm {d} ^{3}V=r,mathrm {d} r,mathrm {d} varphi ,mathrm {d} z}.

Coordonnées sphériques |

En coordonnées sphériques, le point courant M est repéré par ρ, θ et φ, de telle sorte que :

OM→=ρρ^(θ,φ){displaystyle {overrightarrow {mathrm {OM} }}=rho ,{hat {rho }}(theta ,varphi )}

où ρ^(θ,φ){displaystyle {hat {rho }}(theta ,varphi )}, vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennes sin⁡(θ)cos⁡(φ){displaystyle sin(theta )cos(varphi )}, sin⁡(θ)sin⁡(φ){displaystyle sin(theta )sin(varphi )} et cos⁡(θ){displaystyle cos(theta )}. On a alors :

(∂OM→∂ρ)=ρ^(θ,φ){displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial rho }}right)={hat {rho }}(theta ,varphi )},  (∂OM→∂θ)=ρθ^(θ,φ) {displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial theta }}right)=rho ,{hat {theta }}(theta ,varphi ) } et  (∂OM→∂φ)=ρsin⁡(θ)φ^(φ){displaystyle left({frac {partial ,{overrightarrow {mathrm {OM} }}}{partial varphi }}right)=rho sin(theta ),{hat {varphi }}(varphi )}

où θ^(θ,φ){displaystyle {hat {theta }}(theta ,varphi )} est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennes cos⁡(θ)cos⁡(φ){displaystyle cos(theta )cos(varphi )}, cos⁡(θ)sin⁡(φ){displaystyle cos(theta )sin(varphi )} et −sin⁡(θ){displaystyle -sin(theta )}, et φ^(φ){displaystyle {hat {varphi }}(varphi )} celui de coordonnées −sin⁡(φ){displaystyle -sin(varphi )}, cos⁡(φ){displaystyle cos(varphi )} et 0. Les vecteurs ρ^(θ,φ){displaystyle {hat {rho }}(theta ,varphi )}, θ^(θ,φ){displaystyle {hat {theta }}(theta ,varphi )} et φ^(φ){displaystyle {hat {varphi }}(varphi )} sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :

d3V=ρ2sin⁡(θ)dρdθdφ{displaystyle mathrm {d} ^{3}V=rho ^{2}sin(theta ),mathrm {d} rho ,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi }.

Unités de volume |

L'unité de volume du Système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température, deux définitions de correction existent :

• le mètre cube dit normal exprimé en m³(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 0 °C ;


• le mètre cube dit standard exprimé en m³(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 15 °C.

Les volumes décrits ci-dessus correspondent à des volumes dits corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X cubes unité correspond à 8 X cm³.

Quelques formules |

Dans la suite on notera :

• 
  V{displaystyle V} le volume d'une figure ;


• 
  a{displaystyle a} l'arête ;


• 
  B{displaystyle B} et b{displaystyle b} les aires de la grande base et de la petite base ;


• 
  H{displaystyle H} la hauteur (ou distance séparant les deux faces) ;


• 
  D{displaystyle D} ou d{displaystyle d} le diamètre ;


• 
  R{displaystyle R} ou r{displaystyle r} le rayon ;


• 
  L{displaystyle L} ou l{displaystyle l} la longueur et la largeur d'un rectangle.

Les solides de Platon |

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes. Leurs volumes respectifs sont donnés par les formules suivantes :

Polyèdre	Volume	Figure
Tétraèdre régulier	212a3{displaystyle {frac {sqrt {2}}{12}},a^{3}}
Cube	a3{displaystyle a^{3}}
Octaèdre régulier	23a3{displaystyle {frac {sqrt {2}}{3}},a^{3}}
Dodécaèdre régulier	15+754a3{displaystyle {frac {15+7{sqrt {5}}}{4}},a^{3}}
Icosaèdre régulier	5φ26a3{displaystyle {frac {5varphi ^{2}}{6}},a^{3}} où φ{displaystyle varphi } est le nombre d'or

Les prismes et cylindres |

La formule générale est toujours : V=B×H{displaystyle V=Btimes H} (volume = aire de la base × hauteur), que le prisme ou le cylindre soit droit ou pas.

En particulier,

• pour le parallélépipède rectangle ou pavé : V=L×ℓ×H{displaystyle V=Ltimes ell times H},


• pour le cylindre de révolution : V=π×R2×H{displaystyle V=pi times R^{2}times H}.

Les pyramides et cônes |

La formule générale est toujours : V=13B×H.{displaystyle V={frac {1}{3}}Btimes H.}

• Le cône de révolution : V=π3R2H.{displaystyle V={frac {pi }{3}}R^{2}H.}
  


• La pyramide tronquée par un plan parallèle à la base : V=H3(B+b+Bb).{displaystyle V={frac {H}{3}}left(B+b+{sqrt {Bb}}right).}
  

La boule |

• La boule a pour volume V=43πR3{displaystyle V={4 over 3}pi R^{3}} ou V=πD36.{displaystyle V=pi {D^{3} over 6}.}
  


• Pour une calotte sphérique, V=π3H2(3R−H){displaystyle V={frac {pi }{3}}H^{2}(3R-H)} ou V=π2H(H23+r2){displaystyle V={frac {pi }{2}}Hleft({frac {H^{2}}{3}}+r^{2}right)} où R{displaystyle R} est le rayon de la boule, r{displaystyle r} est le rayon de la calotte et H{displaystyle H} la hauteur de la calotte.


• Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule mais seulement de la hauteur H du cylindre: V=π6H3.{displaystyle V={frac {pi }{6}}H^{3}.}
  


• Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : V=23πR2H{displaystyle V={frac {2}{3}}pi R^{2}H} où H{displaystyle H} est la hauteur de la calotte et R{displaystyle R} le rayon de la boule.

Solides de révolution |

Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface S{displaystyle S} plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité G{displaystyle G} de l'élément de surface S{displaystyle S}.

V=2πR⋅S{displaystyle V=2pi Rcdot S} où R{displaystyle R} est la distance séparant le point G{displaystyle G} de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

• le tore : V=2π2Rr2{displaystyle V=2pi ^{2}Rr^{2}} où r{displaystyle r} est le rayon du cercle de centre G{displaystyle G} tournant autour de l'axe (Δ){displaystyle (Delta )} et où R{displaystyle R} est la distance de G{displaystyle G} à (Δ){displaystyle (Delta )}.


• le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde elliptique, un ellipsoïde de révolution. Si B1{displaystyle B_{1}} et B2{displaystyle B_{2}} sont les surfaces des bases et B3{displaystyle B_{3}} la surface de la section à mi-hauteur alors

V=h6(B1+B2+4B3){displaystyle V={frac {h}{6}}(B_{1}+B_{2}+4B_{3})}

Autres |

• Le conoïde circulaire droit (exemple l'incisive) : V=12πR2H{displaystyle V={frac {1}{2}}pi R^{2}H} où R{displaystyle R} est le rayon du cercle de base et H{displaystyle H} la hauteur du conoïde.


• Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : V=h6(B1+B2+4B3){displaystyle V={frac {h}{6}}(B_{1}+B_{2}+4B_{3})} où B1{displaystyle B_{1}} et B2{displaystyle B_{2}} sont les surfaces des deux bases rectangulaires et B3{displaystyle B_{3}} la surface de la section à mi-hauteur. Cette formule est très employée en génie civil dans les calculs de volume de terrassement et plus particulièrement pour les mouvements de terres dans le domaine des travaux publics.

Volume et calcul intégral |

Si D{displaystyle {mathcal {D}}} est une partie bornée de R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}, le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de D{displaystyle {mathcal {D}}}, délimité par le plan z=0{displaystyle z=0} et la surface d'équation z=f(x,y){displaystyle z=f(x,y)} – avec f{displaystyle f} positive et continue sur D{displaystyle {mathcal {D}}} – est :

V=∬Df(x,y)dxdy{displaystyle V=iint _{mathcal {D}}f(x,y),mathrm {d} x,mathrm {d} y}

Dans le cas où le domaine D{displaystyle {mathcal {D}}} est défini par des conditions simples x1<x<x2{displaystyle x_{1}<x<x_{2}}, y1(x)<y(x)<y2(x){displaystyle y_{1}(x)<y(x)<y_{2}(x)}, ce calcul se ramène à :

V=∫x1x2∫y1(x)y2(x)f(x,y)dydx{displaystyle V=int _{x_{1}}^{x_{2}}!int _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y),mathrm {d} y,mathrm {d} x}

Si A{displaystyle {mathcal {A}}} est une partie bornée de R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} et si la fonction constante 1 est intégrable sur A{displaystyle {mathcal {A}}}, le volume de A{displaystyle {mathcal {A}}} est alors

V=∭Adxdydz{displaystyle V=iiint _{mathcal {A}}mathrm {d} x,mathrm {d} y,mathrm {d} z}

Dans le cas où le domaine A{displaystyle {mathcal {A}}} est défini par des conditions simples x1(z,y)<x(z,y)<x2(z,y){displaystyle x_{1}(z,y)<x(z,y)<x_{2}(z,y)}, y1(z)<y(z)<y2(z){displaystyle y_{1}(z)<y(z)<y_{2}(z)} et z1<z<z2{displaystyle z_{1}<z<z_{2}}, ce calcul se ramène à :

V=∫z1z2∫y1(z)y2(z)∫x1(z,y)x2(z,y)dxdydz{displaystyle V=int _{z_{1}}^{z_{2}}!int _{y_{1}(z)}^{y_{2}(z)}!int _{x_{1}(z,y)}^{x_{2}(z,y)}mathrm {d} x,mathrm {d} y,mathrm {d} z}

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine A{displaystyle {mathcal {A}}} s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples A′{displaystyle {mathcal {A}}'}, le calcul peut s'exprimer par

V=∭A′rdrdθdz{displaystyle V=iiint _{{mathcal {A}}'}r,mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,dz} où A′{displaystyle {mathcal {A}}'} est une partie bornée de R+×[0,2π]×R{displaystyle mathbb {R} _{+}times [0,2pi ]times mathbb {R} }

Si le domaine A{displaystyle {mathcal {A}}}s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples A″{displaystyle {mathcal {A}}''}, le calcul peut s'exprimer par

V=∭A″r2sin⁡(ϕ)drdθdϕ{displaystyle V=iiint _{{mathcal {A}}''}r^{2}sin(phi ),mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,mathrm {d} phi } où A″{displaystyle {mathcal {A}}''} est une partie bornée de R+×[0,2π]×[0,π]{displaystyle mathbb {R} _{+}times [0,2pi ]times [0,pi ]}.

Dans le cas où le domaine A{displaystyle {mathcal {A}}} est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation y=f(x){displaystyle y=f(x)} autour de l'axe (Ox){displaystyle (Ox)}, le calcul du volume se réduit à une intégrale simple

V=π∫x1x2f2(x)dx{displaystyle V=pi int _{x_{1}}^{x_{2}}f^{2}(x),mathrm {d} x}

Enfin, le théorème de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

V=∭AdV=13∬∂A(x,y,z)n→dS{displaystyle V=iiint _{A}mathrm {d} V={frac {1}{3}}iint _{partial {mathcal {A}}}(x,y,z){vec {n}},mathrm {d} S}

où ∂A{displaystyle partial {mathcal {A}}} est la frontière de A{displaystyle {mathcal {A}}}, et n→{displaystyle {vec {n}}} le vecteur unitaire normal à dS{displaystyle mathrm {d} S} dirigé vers l'extérieur de A{displaystyle {mathcal {A}}}.

Articles connexes |

• Méthode des indivisibles


• Cubage du bois


• Tonneau (formules)

• Portail de la géométrie